Команда AT+CNMI=2,1,0,0,0 тогда выдает статус, когда у вас примется SMS и запишется на SIM карту (без записи на SIM карту никаких сообщений вроде +CMTI: SM, <index> не будет)

Команда AT+CNMI=2,2,0,0,0 НЕ скидывает текст (для этого есть команда AT+CMGR). Сообщение от этой команды статусное +CMT: [<alpha>,] <length> <CR> <LF> <pdu>

Можно еще пользоваться
AT+CNMI=2,1,0,1,0
AT+CNMI=2,2,0,1,0
тогда будет еще выдаваться статус SMS-STATUS-REPORT
+CDS : <length> <CR> <LF> <pdu>

команду CPMS не трогали?
AT+CPMS="SM"
(сохранение SMS на SIM, должно быть по умолчанию)
можно попробовать AT+CPMS="SM" или AT+CPMS="SM","SM"