Нет в Конституции положения, обязывающего гражданина регистрироваться где бы то ни было. Статья 27 даёт право свободно перемещаться где угодно и выбирать себе любое место жительства, не обуславливая его ничем, в том числе пропиской/регистрацией.

Однако, есть несколько нюансов. Например, для реализации своего права в соответствии со статьёй 25 на неприкосновенность жилища ("Никто не вправе проникать в жилище против воли проживающих в нем лиц..."), необходима какая-то регистрация кто же именно там проживает, поскольку возможны споры, а для их разрешения нужны какие-то документальные подтверждения.

Есть ещё всякие разные законы, по которым требуется регистрация. Например, в статье 32 предусмотрено право участвовать в выборах. При проведении выборов в местные органы государственной власти в соответствии с ФЗ "О местном самоуправлении" существует ценз осёдлости, разрешающий выбирать только тем гражданам, которые зарегистрированы на территории данного субъекта федерации, муниципального образования и т.п.